Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

sin2x•sinφ+cos²x•cosφ+

1

2

sin（

3

2

π-φ）（0＜φ＜π），其圖象過點（

π

6

，

1

2

．）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若x₀∈（

π

2

，π），sinx₀=

3

5

，求f（x₀）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）首先根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果求出三角函數(shù)的正弦值和余弦值進(jìn)一步求出結(jié)果．

解答： （本小題滿分12分）φ
解：（Ⅰ）f（x）=

1

2

sin2x•sinφ+

1

2

(1+cos2x)cosφ-

1

2

cosφ
=

1

2

sin2x•sinφ+

1

2

cos2x•cosφ
=

1

2

cos(2x-φ）
由f（x）圖象過點（

π

6

，

1

2

）知：
cos(

π

3

-φ)=1(0＜φ＜π)
所以：φ=

π

3

所以f（x）=

1

2

cos(2x-

π

3

)
令2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π（k∈Z）
即：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

所以：函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間為：[

π

6

，

2π

3

]
（Ⅱ）因為x₀∈（π，2π），sinx0=

3

5

則：cosx0=-

4

5

2x₀∈（π，2π）
則：cos2x0=cos2x0-sin2x0=

7

25

sin2x0=-

24

25

所以f(x0)=

1

2

cos(2x0-

π

3

)=

1

2

(cos2x0cos

π

3

+sin2x0sin

π

3

）=

7-24 3

100

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定，三角函數(shù)的求值問題，屬于基礎(chǔ)題型．