Question

19．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D，E分別為AB，AC的中點，AB=4，BC=2$\sqrt{2}$，且DE為折痕，將Rt△ADE折起到圖2的位置，使平面PDE⊥平面DBCE，連接PC，PB，設G是線段BC的中點，F(xiàn)為線段PC上的動點，滿足$\overrightarrow{CF}=λ\overrightarrow{CP}$
（1）當λ為何值時，平面EFG∥平面PDB，試說明理由；
（2）當λ=$\frac{1}{3}$時，求多面體PDBGFE的體積．

Answer 1

分析 （1）λ=$\frac{1}{2}$時，平面EFG∥平面PDB，此時F為PC的中點，證明EG∥平面PDB，F(xiàn)G∥平面PDB即可；
（2）利用割補法，求多面體PDBGFE的體積．

解答 解：（1）λ=$\frac{1}{2}$時，平面EFG∥平面PDB，此時F為PC的中點．
連接EG，則由題意，四邊形DEGB是平行四邊形，∴EG∥DB，
∵EG?平面PDB，DB?平面PDB
∴EG∥平面PDB，
同理FG∥PB，F(xiàn)G∥平面PDB，
∵EG∩FG=G，
∴平面EFG∥平面PDB；
（2）當λ=$\frac{1}{3}$時，F(xiàn)到平面CEG的距離為$\frac{1}{3}$PD=$\frac{2}{3}$，
∴V_F-CEG=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×\frac{2}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$，
∵V_P-DECB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（\sqrt{2}+2\sqrt{2}）×2×2$=2$\sqrt{2}$，
∴多面體PDBGFE的體積為2$\sqrt{2}$-$\frac{2\sqrt{2}}{9}$=$\frac{16\sqrt{2}}{9}$．

點評 本題考查圖形的翻折，考查平面與平面平行的證明，考查體積的計算，正確證明線面平行是關鍵．