Question

19．如圖，P是平面ABCD外的一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA=2，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，MQ⊥PD于Q點(diǎn)．
（1）證明：PD⊥平面MNQ；
（2）求二面角P-MN-Q的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件容易證明MN⊥平面PAD，從而得到MN⊥PD，再根據(jù)MQ⊥PD，便可得出PD⊥平面MNQ；
（2）先說明∠PMQ為二面角P-MN-Q的平面角，從而根據(jù)已知的邊的長(zhǎng)度，及直角三角形邊角的關(guān)系，即可求出MQ，PM，而△PMQ為直角三角形，從而可求出cos∠PMQ，從而得到∠PMQ．

解答 解：（1）證明：PA⊥平面ABCD，MN?平面ABCD；
∴PA⊥MN，即MN⊥PA；
M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)；
∴MN⊥AD，PA∩AD=A；
∴MN⊥平面PAD；
∴MN⊥PD，又MQ⊥PD，MQ∩MN=M；
∴PD⊥平面MNQ；
（2）由上面知，MN⊥平面PAD，MP，MQ?平面PAD；
∴MN⊥MP，MN⊥MQ；
∴∠PMQ為二面角P-MN-Q的平面角；
PM=$\sqrt{5}$，MQ=1$•sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴在Rt△PMQ中，$cos∠PMQ=\frac{MQ}{PM}=\frac{\sqrt{10}}{10}$；
∴$∠PMQ=arccos\frac{\sqrt{10}}{10}$；
∴二面角P-MN-Q的大小為arccos$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 考查線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，以及二面角平面角的概念及求法，直角三角形邊角關(guān)系，反余弦函數(shù)的定義．