Question

10．若一個三角形三條邊長是3個連續(xù)的自然數(shù)．
（1）如果這個三角形是一個鈍角三角形，求它的最大邊的長度；
（2）如果最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的兩倍，求它的最小邊的長度．

Answer 1

分析 （1）設(shè)三邊長分別是x，x+1，x+2（x∈N^*），根據(jù)題意建立關(guān)于x的不等式，解出-1＜x＜3，滿足條件的正整數(shù)x=1或2．再加以檢驗可得只有三邊為2、3、4時，能構(gòu)成鈍角三角形，從而得到答案．
（2）設(shè)三角形三邊是連續(xù)的三個自然n-1，n，n+1，三個角分別為α，π-3α，2α，由正弦定理求得cosα=$\frac{n+1}{2（n-1）}$，再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）×n×$\frac{n+1}{2（n-1）}$，求得n=5，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)三邊長分別是x，x+1，x+2（x∈N^*），
∵三角形ABC是鈍角三角形ABC，
∴最長邊所對的角為鈍角，可得：x²+（x+1）²＜（x+2）²，整理得x²-2x-3＜0，
解之得：-1＜x＜3，滿足條件的正整數(shù)x=1或2，
但是三邊為1、2、3時，不能構(gòu)成三角形；而三邊為2、3、4時，恰好構(gòu)成鈍角三角形，
因此它的最大邊的長度為4．
（2）設(shè)三角形三邊是連續(xù)的三個自然n-1，n，n+1，三個角分別為α，π-3α，2α，由正弦定理可得：$\frac{n-1}{sinα}$=$\frac{n+1}{sin2α}$，
∴cosα=$\frac{n+1}{2（n-1）}$，
再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα，即 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•$\frac{n+1}{2（n-1）}$，
化簡可得n²-5n=0，
∴n=5，n=0（舍去），
此時，三角形的三邊分別為：4，5，6，
故它的最小邊的長度為：4．

點評 本題給出三角形的三邊為連續(xù)正整數(shù)，求滿足條件的三角形邊長，著重考查了余弦定理和二次不等式的解法等知識，屬于中檔題．