Question

9．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）證明：PA⊥BD；
（Ⅱ）設(shè)PD=AD=1，若M是PB的中點，求棱錐M-ABC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABD中，由已知結(jié)合余弦定理可得BD⊥AD，再由線面垂直的性質(zhì)可得BD⊥PD，由線面垂直的判定得到BD⊥平面PAD．從而可得PA⊥BD；
（Ⅱ）由M是PB的中點，得點M到平面ABC的距離是點P到面ABC的距離的一半，求出底面三角形的面積，代入體積公式求得棱錐M-ABC的體積．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=$\sqrt{3}AD$，
從而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD．
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD．
又AD∩PD=D，
∴BD⊥平面PAD．
故PA⊥BD．
（Ⅱ）解：∵M是PB的中點，
∴點M到平面ABC的距離是點P到面ABC的距離的一半，
∵PD=AD=1，∴AB=2，
則${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}{S_{平行四邊形ABCD}}={S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AB•AD•sin∠DAB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
又∵PD⊥平面ABCD，
∴${V_{M-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{ABC}}•（\frac{1}{2}PD）=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查線面垂直的性質(zhì)，考查了棱錐體積的求法，是中檔題．