Question

1．已知銳角α，β滿足tan（α-β）=sin2β，求證：2tan2β=tanα+tanβ．

Answer 1

分析 由已知條件推導出$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{2tanβ}{1+ta{n}^{2}β}$，從而得到tanα=$\frac{ta{n}^{3}β+3tanβ}{1-ta{n}^{2}β}$，由此能夠證明tanα+tanβ=2tan2β．

解答 證明：∵α，β為銳角，tan（α-β）=sin2β，
∴$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}=\frac{2sinβcosβ}{si{n}^{2}β+co{s}^{2}β}$=$\frac{2tanβ}{1+ta{n}^{2}β}$，
∴tanα=$\frac{ta{n}^{3}β+3tanβ}{1-ta{n}^{2}β}$，
∴tanα+tanβ
=tanβ+$\frac{ta{n}^{3}β+3tanβ}{1-ta{n}^{2}β}$=$\frac{tanβ-ta{n}^{3}β+ta{n}^{3}β+3tanβ}{1-ta{n}^{2}β}$=$\frac{4tanβ}{1-ta{n}^{2}β}$=2tan2β，
∴tanα+tanβ=2tan2β．

點評 本題考查三角恒等式的證明，考查倍角公式的應用，關鍵是化弦為切，是中檔題．