Question

9．設雙曲線x²-$\frac{y^2}{3}$=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，若點P在雙曲線上，且△F₁PF₂為銳角三角形，則|PF₁|+|PF₂|的取值范圍是$（2\sqrt{7}，8）$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，以P在雙曲線右支為例，求出∠PF₂F₁和∠F₁PF₂為直角時|PF₁|+|PF₂|的值，可得△F₁PF₂為銳角三角形時|PF₁|+|PF₂|的取值范圍．

解答 解：如圖，
由雙曲線x²-$\frac{y^2}{3}$=1，得a²=1，b²=3，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=2$．
不妨以P在雙曲線右支為例，當PF₂⊥x軸時，
把x=2代入x²-$\frac{y^2}{3}$=1，得y=±3，即|PF₂|=3，
此時|PF₁|=|PF₂|+2=5，則|PF₁|+|PF₂|=8；
由PF₁⊥PF₂，得$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}=16$，
又|PF₁|-|PF₂|=2，①
兩邊平方得：$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=4$，
∴|PF₁||PF₂|=6，②
聯(lián)立①②解得：$|P{F}_{1}|=1+\sqrt{7}，|P{F}_{2}|=-1+\sqrt{7}$，
此時|PF₁|+|PF₂|=$2\sqrt{7}$．
∴使△F₁PF₂為銳角三角形的|PF₁|+|PF₂|的取值范圍是（$2\sqrt{7}，8$）．
故答案為：（$2\sqrt{7}，8$）．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查雙曲線定義的應用，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．