Question

4．已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）（e^x-e），a，b∈R，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≥0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． -2≤a≤0
• B． -1≤a≤0
• C． a≥-1
• D． 0≤a≤1

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=x²+ax+b，h（x）=e^x-e，根據(jù)當(dāng)x＞0時(shí)f（x）≥0，判斷兩個(gè)函數(shù)的符號(hào)關(guān)系得到g（x）必需過(guò)點(diǎn)（1，0）點(diǎn)，建立a，b的關(guān)系，根據(jù)圖象和一元二次函數(shù)根的關(guān)系，列出不等式求解即可．

解答 解：設(shè)g（x）=x²+ax+b，h（x）=e^x-e，
則h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且h（1）=0，
若當(dāng)x＞0時(shí)f（x）≥0，則滿足當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）≥0，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）≤0，
即g（x）必需過(guò)點(diǎn)（1，0）點(diǎn)，
則g（1）=1+a+b=0，即b=-1-a，
此時(shí)函數(shù)g（x）與h（x）滿足如圖所示：
此時(shí)g（x）=x²+ax-1-a=（x-1）[x+（a+1）]，
則滿足函數(shù)g（x）的另外一個(gè)零點(diǎn)-a-1≤0，
即a≥-1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的符號(hào)相反，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．