Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（πx+$\frac{π}{3}$）和g（x）=sin（$\frac{π}{6}$-πx）的圖象在y軸左、右兩側(cè)靠近y軸的交點(diǎn)分別為M，N，已知O為原點(diǎn)，則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$-\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 令f（x）=g（x），根據(jù)題意，通過(guò)三角函數(shù)的輔助角公式，計(jì)算可得M、N點(diǎn)坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即得結(jié)果．

解答 解：根據(jù)題意，令f（x）=g（x），即f（x）-g（x）=0，
則$\sqrt{3}$sin（πx+$\frac{π}{3}$）-sin（$\frac{π}{6}$-πx）=$\sqrt{3}$sin（πx+$\frac{π}{3}$）-cos（πx$+\frac{π}{3}$）
=$2sin（πx+\frac{π}{3}-\frac{π}{6}）$
=$2sin（πx+\frac{π}{6}）$=0，
所以$πx+\frac{π}{6}=kπ$，其中k∈Z，
化簡(jiǎn)，得$x=k-\frac{1}{6}$，k∈Z，
所以M（-$\frac{1}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），N（$\frac{5}{6}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=（-$\frac{1}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）•（$\frac{5}{6}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\frac{1}{6}$×$\frac{5}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$-\frac{8}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的輔助角公式，數(shù)量積運(yùn)算，注意解題方法的積累，屬于中檔題．