Question

13．求下列函數(shù)的最小正周期、遞增區(qū)間及最大值．
（1）y=sin2xcos2x；
（2）y=2cos²$\frac{x}{2}$+1；
（3）y=$\sqrt{3}$cos4x+sin4x．

Answer 1

分析 （1）由倍角公式化簡解析式可得y=$\frac{1}{2}$sin4x，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求最小正周期、遞增區(qū)間及最大值．
（2）由倍角公式化簡解析式可得y=cosx+2；利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求最小正周期、遞增區(qū)間及最大值．
（3）由兩角和的正弦函數(shù)公式化簡解析式可得y=2sin（4x+$\frac{π}{3}$）．利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求最小正周期、遞增區(qū)間及最大值．

解答 解：（1）∵y=sin2xcos2x=$\frac{1}{2}$sin4x，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，最大值為$\frac{1}{2}$，
由2k$π-\frac{π}{2}$≤4x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$]，k∈Z
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z
（2）∵y=2cos²$\frac{x}{2}$+1=cosx+2；
∴最小正周期T=2π，最大值為3，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[2kπ-π，2kπ]，k∈Z，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[2kπ，2kπ+π]，k∈Z
（3）∵y=$\sqrt{3}$cos4x+sin4x=2sin（4x+$\frac{π}{3}$）．
∴最小正周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，最大值為2，
由2k$π-\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{5π}{24}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$]，k∈Z
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{7π}{24}$]，k∈Z

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．