分析 根據(jù)直線的斜率公式,得∠NOF=60°,所以△ONF是以c為邊長(zhǎng)的等邊三角形,得點(diǎn)N($\frac{1}{2}$c,$\frac{\sqrt{3}}{2}$c),代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)整理,得關(guān)于離心率e的方程,解之可得該雙曲線的離心率,即可求出$\frac{|NP|}{|MP|}$.
解答 解:∵直線y=$\sqrt{3}$x交雙曲左右兩支于M,N,且|OM|=|OF|,
∴由tan∠NOF=$\sqrt{3}$,得∠NOF=60°,且|ON|=|OF|,
因此△ONF是以c為邊長(zhǎng)的等邊三角形,
得N($\frac{1}{2}$c,$\frac{\sqrt{3}}{2}$c),代入雙曲線方程得$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{3{c}^{2}}{4}}{^{2}}$=1
將e=$\frac{c}{a}$和b2=c2-a2代入化簡(jiǎn)整理,
得$\frac{1}{4}$e2-$\frac{3}{4}•\frac{{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$=1,e>1,解之得e2=4+2$\sqrt{3}$,
∴$\frac{|NP|}{|MP|}$=$\frac{\frac{1}{2}c-\frac{{a}^{2}}{c}}{\frac{{a}^{2}}{c}+\frac{1}{2}c}$=$\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}+2}$=$\frac{2+2\sqrt{3}}{6+2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$.
故答案為:$\sqrt{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題給出直線交雙曲線于M、N兩點(diǎn),且在|ON|=c的情況下求雙曲線的離心率,著重考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)和直線與雙曲線位置關(guān)系等知識(shí),屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 2 | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | f(b-3)<f(a+2) | B. | f(b-3)>f(a+2) | ||
C. | f(b-3)=f(a+2) | D. | f(b-3)與f(a+2)的大小無(wú)法確定 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | -2 | C. | 2 | D. | -1 |
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