Question

16．直線y=$\sqrt{3}$x與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左右兩支分別交于M、N兩點(diǎn)，與雙曲線C的右準(zhǔn)線交于P點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若|FO|=|MO|，則$\frac{|NP|}{|MP|}$等于$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直線的斜率公式，得∠NOF=60°，所以△ONF是以c為邊長(zhǎng)的等邊三角形，得點(diǎn)N（$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)整理，得關(guān)于離心率e的方程，解之可得該雙曲線的離心率，即可求出$\frac{|NP|}{|MP|}$．

解答 解：∵直線y=$\sqrt{3}$x交雙曲左右兩支于M，N，且|OM|=|OF|，
∴由tan∠NOF=$\sqrt{3}$，得∠NOF=60°，且|ON|=|OF|，
因此△ONF是以c為邊長(zhǎng)的等邊三角形，
得N（$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），代入雙曲線方程得$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{3{c}^{2}}{4}}{^{2}}$=1
將e=$\frac{c}{a}$和b²=c²-a²代入化簡(jiǎn)整理，
得$\frac{1}{4}$e²-$\frac{3}{4}•\frac{{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$=1，e＞1，解之得e²=4+2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{|NP|}{|MP|}$=$\frac{\frac{1}{2}c-\frac{{a}^{2}}{c}}{\frac{{a}^{2}}{c}+\frac{1}{2}c}$=$\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}+2}$=$\frac{2+2\sqrt{3}}{6+2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出直線交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，且在|ON|=c的情況下求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)和直線與雙曲線位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．