Question

7．若函數f（x）=a^|x+b|（a＞0且a≠1，b∈R）是偶函數，則下面的結論正確的是（　　）

• A． f（b-3）＜f（a+2）
• B． f（b-3）＞f（a+2）
• C． f（b-3）=f（a+2）
• D． f（b-3）與f（a+2）的大小無法確定

Answer 1

分析 根據函數奇偶性的性質求出b=0，然后結合指數函數的單調性，進行比較大小即可．

解答 解：∵f（x）=a^|x+b|（a＞0且a≠1，b∈R）是偶函數，
∴f（-x）=f（x），即a^|-x+b|=a^|x+b|，
即|x-b|=|x+b|，即b=0，
則f（x）=a^|x|，
∵a＞0且a≠1，∴a+2＞2且a≠3，
而b-3=-3，即f（b-3）=f（-3）=f（3），
若a＞1，則f（x）在（0，+∞）上為增函數，此時a+2＞3，則f（b-3）＜f（a+2），
若0＜a＜1，則f（x）在（0，+∞）上為減函數，此時2＜a+2＜3，則f（b-3）＜f（a+2），
綜上f（b-3）＜f（a+2），
故選：A

點評 本題主要考查函數值的大小比較，根據函數奇偶性的性質求出b的大小，利用分類討論結合指數函數的單調性是解決本題的關鍵．