Question

20．設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設S為△ABC的面積，滿足S=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{a^2}+{b^2}-{c^2}）$，則sinA+sinB的最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的面積公式結合題中所給條件可得S=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{a^2}+{b^2}-{c^2}）$=$\frac{1}{2}$absinC，可求出tanC的值，再由三角形內角的范圍可求出角C的值．根據(jù)三角形內角和為180°將角A、B轉化為同一個角表示，然后根據(jù)兩角和的正弦定理可得答案．

解答 解：由題意可知$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2abcosC，
∴tanC=√3．
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$．
∴sinA+sinB=sinA+sin（π-C-A）=sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）
=sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）≤$\sqrt{3}$．
當△ABC為正三角形時取等號，
∴sinA+sinB的最大值是$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查余弦定理、三角形面積公式、三角變換等基礎知識，同時考查三角運算求解能力，是中檔題．