Question

11．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-a_n =$\frac{1}{（2n）^{2}-1}$，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 通過(guò)裂項(xiàng)可知a_n+1-a_n =$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加可知a_n-a₁ =$\frac{n-1}{2n-1}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1-a_n =$\frac{1}{（2n）^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴a_n-a_n-1 =$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），
a_n-1-a_n-2 =$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-5}$-$\frac{1}{2n-3}$），
…
a₂-a₁ =$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$），
累加得：a_n-a₁ =$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2n-5}$-$\frac{1}{2n-3}$+$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n-1}$）
=$\frac{n-1}{2n-1}$，
∴a_n=a₁+$\frac{n-1}{2n-1}$=1+$\frac{n-1}{2n-1}$=$\frac{3n-2}{2n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．