Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，右焦點到右準(zhǔn)線的距離為3.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點P(0，1)的直線l與橢圓C交于兩點A，B.己知在橢圓C上存在點Q，使得四邊形OAQB是平行四邊形，求Q的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）Q(1，)或(﹣1，)

【解析】

（1）結(jié)合橢圓離心率以及右焦點到右準(zhǔn)線的距離，以及，求得，進而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）首先判斷直線斜率不存在時，四邊形不可能是平行四邊形，不符合題意.然后設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得點坐標(biāo)并代入橢圓方程，由此求得的值，進而求得點坐標(biāo).

（1）設(shè)焦距為2c，

∵橢圓C的離心率為，∴①，

∵右焦點到右準(zhǔn)線的距離為3，∴②，

由①，②解得a＝2，c＝1，故b2＝a2﹣c2＝3，

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

（2）當(dāng)直線l斜率不存在時，四邊形OAQB不可能平行四邊形，故直線l斜率存在

∵直線l過點P(0，1)，設(shè)直線l為：，

設(shè)A(，)，B(，)，

由四邊形OAQB是平行四邊形，得Q(，)

，化簡得：，

，

，

∴Q(，)，∵點Q在橢圓C上，

∴，解得，代入Q的坐標(biāo)，得

Q(1，)或(﹣1，).