Question

12．已知函數(shù)y=$\frac{4sinxcosx}{2sinx+2cosx+1}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（1）令t=sinx+cosx，可將已知三角函數(shù)關(guān)系y=f（x）轉(zhuǎn)換成代數(shù)函數(shù)關(guān)系y=g（t），試寫出函數(shù)y=g（t）的表達式及定義域；
（2）求函數(shù)y=f（x）的最大值；
（3）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）對t=sinx+cosx兩邊平方得2sinxcosx=t²-1，代入f（x）即可得出g（t）的解析式，由t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）得出t的取值范圍；
（2）化簡g（t），判斷g（t）的單調(diào)性得出g（t）的最大值，即f（x）的最大值；
（3）判斷f（x）的極大值點是否為區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）的端點即可．

解答 解：（1）∵t=sinx+cosx，
∴t²=1+2sinxcosx，
∴2sinxcosx=t²-1．
∴f（x）=$\frac{4sinxcosx}{2sinx+2cosx+1}$=$\frac{2{t}^{2}-2}{2t+1}$．
即g（t）=$\frac{2{t}^{2}-2}{2t+1}$．
∵t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）．
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$.$\frac{3π}{4}$）．
∴1＜t$≤\sqrt{2}$．
∴g（t）的定義域為（1，$\sqrt{2}$]．
（2）g（t）=$\frac{2{t}^{2}-2}{2t+1}$=$\frac{{t}^{2}-1}{t+\frac{1}{2}}$=$\frac{（t+\frac{1}{2}）^{2}-（t+\frac{1}{2}）-\frac{3}{4}}{t+\frac{1}{2}}$=t+$\frac{1}{2}$-1-$\frac{3}{4t+2}$=t-$\frac{3}{4t+2}$-$\frac{1}{2}$．
∵y=t和y=-$\frac{3}{4t+2}$在（1，$\sqrt{2}$]上是增函數(shù)，
∴g（t）在（1，$\sqrt{2}$]上是增函數(shù)．
∴當t=$\sqrt{2}$時g（t）取得最大值g（$\sqrt{2}$）=$\frac{4\sqrt{2}-2}{7}$．
∴f（x）的最大值是$\frac{4\sqrt{2}-2}{7}$．
（3）f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上不是單調(diào)函數(shù)．
由（2）可知當t=$\sqrt{2}$時f（x）取得最大值，
即t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
∴x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，于是x=$\frac{π}{4}$．
∴f_max（x）=f（$\frac{π}{4}$），
∴f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上不是單調(diào)函數(shù)．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．