Question

6．已知函數(shù)f（x）=4sin³xcosx-2sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos4x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得函數(shù)解析式f（x）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），利用周期公式可求函數(shù)f（x）的最小正周期，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，可得4x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值為$\frac{1}{2}$和最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：（1）∵f（x）=4sin³xcosx-2sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos4x
=sin2x×（1-cos2x）-sin2x-$\frac{1}{2}$cos4x
=-$\frac{1}{2}$sin4x-$\frac{1}{2}$cos4x
=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$．
∵由2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可得：$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{16}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{16}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{16}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{16}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴4x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴sin（4x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴f（x）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$]，可得f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值為$\frac{1}{2}$和最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)周期公式的應(yīng)用，考查了計算能力和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．