Question

10．已知正棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△PAC為等腰直角三角形，PA=6，底面ABCD為平行四邊形，且∠ABC+∠ADC=90°，E為線段AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段PD上運(yùn)動(dòng)，記$\frac{PF}{PD}$=λ．
（1）若λ=$\frac{1}{2}$，證明：平面BEF⊥平面ABCD；
（2）當(dāng)λ=$\frac{1}{3}$時(shí)，PA=AB=AC，求三棱錐C-BEF的體積．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線的性質(zhì)，可得EF∥PA，利用PA⊥平面ABCD，可得EF⊥平面ABCD，即可證明平面BEF⊥平面ABCD；
（2）利用三棱錐C-BEF的體積=三棱錐F-BEC的體積，求三棱錐C-BEF的體積．

解答 （1）證明：λ=$\frac{1}{2}$，則F為線段PD的中點(diǎn)，故EF∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，
∵EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABCD；
（2）解：當(dāng)λ=$\frac{1}{3}$時(shí)，∵PA=6，∴F到平面ABCD的距離d=4．
∵∠ABC+∠ADC=90°，∴∠ABC=∠ADC=45°，
△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°，
∴S_△BEC=S_△ABC=$\frac{1}{2}×6×6$=18
∴三棱錐C-BEF的體積=三棱錐F-BEC的體積=$\frac{1}{3}×18×4$=24．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、平面與平面垂直的證明，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．