Question

2．已知：平面向量$\overrightarrow{a}$=（sinα，1），$\overrightarrow$=（1，cosα），-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，求：α；      
（Ⅱ）求：|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，得到數(shù)量積為0，根據(jù)角度范圍，求a；      
（Ⅱ）利用向量的平方等于其模的平方，首先將|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|兩邊平方，利用三角函數(shù)公式化簡變形，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求最值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0   即：sinα+cosα=0∴tanα=-1，
∵-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$．
∴$α=-\frac{π}{4}$     …（5分）
（Ⅱ）由已知得：|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=（sinα+1）²+（1+cosα）²=3+2（sinα+cosα）=3+2$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$），∵-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$．
∴$-\frac{π}{4}＜α+\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$
∴$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin（α+\frac{π}{4}）≤1$
即：|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²≤3+2$\sqrt{2}$，
所以，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最大值為$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}$．…．（10分）

點評 本題考查了向量的坐標(biāo)運算以及三角函數(shù)的化簡求值；注意角度范圍；屬于基礎(chǔ)題．