Question

如圖，在xOy平面上，點A（1，0），點B在單位圓上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．
（1）若點B（-

3

5

，

4

5

），求tan（2θ+

π

4

）的值；
（2）若

OA

+

OB

=

OC

，四邊形OACB的面積用S_θ表示，求S_θ+

OA

•

OC

的取值范圍．

Answer 1

考點：任意角的三角函數(shù)的定義

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義可得tanθ=

y

x

的值，可得tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

 的值，進而求得tan（2θ+

π

4

）的值．
（2）由題意可得四邊形OACB為菱形，求得S_θ+

OA

•

OC

=1×sin（π-θ）+

OA

•(

OA

+

OB

)=1+

2

sin（θ+

π

4

），根據(jù) 0＜θ＜π，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得S_θ+

OA

•

OC

的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意可得tanθ=

y

x

=

4 5

- 3 5

=-

4

3

，
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

24

7

．
∴tan（2θ+

π

4

）=

tan2θ+1

1-tan2θ×1

=-

31

17

．
（2）∵

OA

+

OB

=

OC

，OA=OB，則四邊形OACB為菱形，它的面積用S_θ表示，
則 S_θ+

OA

•

OC

=1×sin（π-θ）+

OA

•(

OA

+

OB

)=sinθ+1+1×1×cosθ
=1+sinθ+cosθ=1+

2

sin（θ+

π

4

）．
∵0＜θ＜π，∴

π

4

＜θ+

π

4

＜

5π

4

，
∴-

2

2

＜sin（θ+

π

4

）≤1，1+

2

sin（θ+

π

4

）∈（0，1+

2

]．

點評：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和的正弦、正切公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題