Question

【題目】已知a∈R，f（x）=aln（x﹣1）+x，f′（2）=2
（1）求a的值，并求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程y=g（x）；
（2）設(shè)h（x）=mf′（x）+g（x）+1，若對(duì)任意的x∈[2，4]，h（x）＞0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=aln（x﹣1）+x，

導(dǎo)數(shù)f′（x）= +1，

則f′（2）=a+1=2，

解得a=1，f（x）=ln（x﹣1）+1，

f′（x）= +1，

可得曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線斜率為1+1=2，

f（2）=ln1+1=1，

可得曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y﹣1=x﹣2，

即為g（x）=x﹣1

（2）解：h（x）=mf′（x）+g（x）+1=m（ +1）+x，

對(duì)任意的x∈[2，4]，h（x）＞0，

即為m（ +1）+x＞0，x∈[2，4]，

即有m +x＞0，

即為m＞（1﹣x）max，x∈[2，4]，

由1﹣x≤1﹣2=﹣1，可得m＞﹣1．

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣1，+∞）

【解析】（1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意解得a=1，求出曲線y=f（x）在x=2處的切線的斜率和f（2），由點(diǎn)斜式方程可得切線方程；（2）由題意可得m（ +1）+x＞0，x∈[2，4]，即為m＞（1﹣x）max ， x∈[2，4]，由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得最大值，即可得到m的范圍．