Question

18．已知正三棱錐V-ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示，則該正三棱錐側(cè)面積是（　�。�

• A． $12\sqrt{3}$
• B． $3\sqrt{39}$
• C． 18
• D． $\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$

Answer 1

分析 由三視圖畫出對應(yīng)直觀圖，根據(jù)正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征判斷出頂點(diǎn)V在底面上的射影，由圖象和勾股定理求出三棱錐的高，再求出側(cè)面上的高即斜高，由三角形的面積公式求出正三棱錐側(cè)面的面積．

解答 解：由三視圖畫出直觀圖如圖所示：
O是定點(diǎn)V在底面的射影，且O是正三角形ABC的中心，D是BC的中點(diǎn)，
由三視圖可得，側(cè)棱VA=4，AB=BC=AC=2$\sqrt{3}$，
則AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{3}）}^{2}-{（\sqrt{3}）}^{2}}$=3，
∴底面△ABC外接圓的半徑OA=$\frac{2}{3}AD$=2，OD=1，
則VO=$\sqrt{V{A}^{2}-A{O}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，VD=$\sqrt{V{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵VD⊥BC，∴斜高為$\sqrt{13}$，
則正三棱錐的側(cè)面積S=$3×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{13}=3\sqrt{39}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查正三棱錐的三視圖、結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，正確畫出直觀圖是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力和數(shù)形結(jié)合思想．