18．設(shè)f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，求證：
（1）[g（x）]2-[f（x）]2=1；
（2）f（2x）=2f（x）•g（x）；
（3）g（2x）=[g（x）]2+[f（x）]2．

分析 把已知式子整體代要證的等式化簡可得．

解答 證明：（1）∵f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，
∴[g（x）]2-[f（x）]2=[$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$]2-[$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$]2
=$\frac{{e}^{2x}+{2}^{-2x}+2}{4}$-$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}-2}{4}$=$\frac{2-（-2）}{4}$=1；
（2）∵f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，
∴f（2x）=$\frac{{e}^{2x}-{e}^{-2x}}{2}$=$\frac{（{e}^{x}+{e}^{-x}）（{e}^{x}-{e}^{-x}）}{2}$
=2•$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$•$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$=2f（x）•g（x）；
（3））∵f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，
∴[g（x）]2+[f（x）]2=[$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$]2+[$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$]2
=$\frac{{e}^{2x}+{2}^{-2x}+2}{4}$+$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}-2}{4}$=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}}{2}$=g（2x）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)解析式的求解，整體代入是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

8．將函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（　�。�
A．[-$\frac{5π}{12}$，0]B．[-$\frac{π}{3}$，0]C．[0，$\frac{π}{3}$]D．[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

9．已知A（4，0）、B（0，5）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1的兩個(gè)頂點(diǎn)，C是橢圓上處于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則△ABC面積的最大值為（　　）
A．10（$\sqrt{3}$-1）B．10（$\sqrt{2}$+1）C．10（$\sqrt{2}$-1）D．10（$\sqrt{3}$+1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

6．姐圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體表面上移動(dòng)，且滿足B1P⊥D1E，則點(diǎn)B1和點(diǎn)P構(gòu)成的圖形是（　　）
A．三角形B．四邊形C．曲邊形D．五邊形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

13．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{a+{2}^{x+1}}$是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）求函數(shù)的值域；
（4）若對任意的t∈R，不等式f（t2-（m一2）t）+f（t2-m+1）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

3．已知函數(shù)f（x）=|log4x|，若f（x）在[a，b]的值域是[0，1]，則b-a的最小值是$\frac{3}{4}$，最大值是$\frac{15}{4}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．如圖，已知點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上運(yùn)動(dòng)，且滿足AB⊥BF，$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AB}$，設(shè)點(diǎn)D的軌跡為C．
（I）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）若斜率為$\frac{1}{2}$的直線l與軌跡C交于不同兩點(diǎn)P，Q（位于x軸上方），記直線OP，OQ的斜率分別為k1，k2，求k1+k2的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．求下列函數(shù)的值域：
①f（x）=$\frac{1}{1-x（1-x）}$；
②y=x+$\sqrt{1-2x}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

8．與30°角終邊相同的角的集合是（　�。�
A．{α|α=k•360°+$\frac{π}{6}$，k∈Z}B．{α|α=2kπ+30°，k∈Z}
C．{α|α=2k•360°+30°，k∈Z}D．{α|α=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}

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同步練習(xí)冊答案