Question

6．姐圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為BC的中點，點P在正方體表面上移動，且滿足B₁P⊥D₁E，則點B₁和點P構(gòu)成的圖形是（　�。�

• A． 三角形
• B． 四邊形
• C． 曲邊形
• D． 五邊形

Answer 1

分析 根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點P的坐標(biāo)，利用B₁P⊥D₁E得出$\overrightarrow{{B}_{1}P}$•$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=0，得出x+2y-2z-1=0；
根據(jù)點P在正方體的表面上，討論z=0與z=1以及x=0與x=1和y=0、y=1時，方程表示的圖形是什么即可．

解答 解：以D為坐標(biāo)原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD₁所在直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；
則D₁（0，0，1），E（$\frac{1}{2}$，1，0），B₁（1，1，1）；
設(shè)點P（x，y，z），
則$\overrightarrow{{B}_{1}P}$=（x-1，y-1，z-1），
$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（$\frac{1}{2}$，1，-1）；
又B₁P⊥D₁E，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}P}$•$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=$\frac{1}{2}$（x-1）+（y-1）-（z-1）=0，
即x+2y-2z-1=0；
又點P在正方體的表面上，
當(dāng)z=0時，x+2y-1=0，是線段AM，點M（0，$\frac{1}{2}$，0）；
當(dāng)z=1時，x+2y-3=0，是點B₁（1，1，1）；
當(dāng)x=0時，2y-2z-1=0，是線段MN，點N（0，1，$\frac{1}{2}$）；
當(dāng)x=1時，y-z=0，是線段AB₁；
當(dāng)y=0時，x-2z-1=0，是點A（1，0，0）；
當(dāng)y=1時，x-2z+1=0，是線段B₁N；如圖所示，

則點B₁和點P構(gòu)成的圖形是四邊形AB₁NM．
故選：B．

點評 本題考查了立體幾何中的軌跡問題，考查了分析問題與解決問題的能力，解題的關(guān)鍵建立空間直角坐標(biāo)系，確定點P所構(gòu)成的軌跡，是中檔題目．