Question

13．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{a+{2}^{x+1}}$是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）求函數(shù)的值域；
（4）若對任意的t∈R，不等式f（t²-（m一2）t）+f（t²-m+1）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的定義可得f（-1）=-f（1），解方程可得a=2，再由定義檢驗(yàn)即可得到；
（2）f（x）在R上為增函數(shù)；運(yùn)用單調(diào)性的定義，注意設(shè)值，作差，變形和定符號、下結(jié)論；
（3）運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的值域，以及不等式的性質(zhì)，即可得到所求值域；
（4）由奇函數(shù)和單調(diào)性的性質(zhì)可得，t²-（m一2）t＞-t²+m-1，即為2t²-（m-2）t+1-m＞0，由判別式小于0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{a+{2}^{x+1}}$是奇函數(shù)，
可得f（-1）=-f（1），即有$\frac{{2}^{-1}-1}{a+1}$=-$\frac{2-1}{a+4}$，
解方程可得a=2，
即f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{2（{2}^{-x}+1）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），
即有f（x）為奇函數(shù)．
故a=2；
（2）f（x）在R上為增函數(shù)；
證明：由f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，設(shè)m＜n，
f（m）-f（n）=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{m}+1}$=$\frac{{2}^{m}-{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{m}+1）}$，
由m＜n，可得0＜2^m＜2ⁿ，即為2^m-2ⁿ＜0，
則f（m）＜f（n），即f（x）在R上遞增；
（3）由f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，2^x＞0，1+2^x＞1，
即有0＜$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜1，則-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜$\frac{1}{2}$，
則f（x）的值域?yàn)椋?$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
（4）任意的t∈R，不等式f（t²-（m一2）t）+f（t²-m+1）＞0恒成立，
即有f（t²-（m一2）t）＞-f（t²-m+1）=f（-t²+m-1），
由f（x）在R上遞增，可得t²-（m一2）t＞-t²+m-1，
即為2t²-（m-2）t+1-m＞0，
由題意對t為一切實(shí)數(shù)恒成立，可得△＜0，
即為（m-2）²-8（1-m）＜0，解得
-2-2$\sqrt{2}$＜m＜-2+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查奇函數(shù)的運(yùn)用和單調(diào)性的運(yùn)用，同時考查函數(shù)的值域求法，注意指數(shù)函數(shù)的值域的運(yùn)用，同時考查不等式恒成立問題的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．