Question

7．求下列函數(shù)的值域：
①f（x）=$\frac{1}{1-x（1-x）}$；
②y=x+$\sqrt{1-2x}$．

Answer 1

分析 ①配方得到$f（x）=\frac{1}{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，這樣根據(jù)$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$便可求出$\frac{1}{1-x（1-x）}$的范圍，即求出該函數(shù)的值域；
②可換元得到$\sqrt{1-2x}=t（t≥0）$，可解出x=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，從而得出y=$-\frac{1}{2}（t-1）^{2}+1$，由t≥0便可得出y的范圍，即求出該函數(shù)的值域．

解答 解：①$f（x）=\frac{1}{{x}^{2}-x+1}=\frac{1}{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$；
∵$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$；
∴$0＜\frac{1}{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}≤\frac{4}{3}$；
∴該函數(shù)的值域為（0，$\frac{4}{3}$]；
②令$\sqrt{1-2x}=t$，（t≥0），∴$x=\frac{1-{t}^{2}}{2}$；
∴$y=\frac{1-{t}^{2}}{2}+t=-\frac{1}{2}（t-1）^{2}+1$；
∵t≥0；
∴$-\frac{1}{2}（t-1）^{2}+1≤1$；
∴該函數(shù)的值域為（-∞，1]．

點評 考查函數(shù)值域的概念，配方法求二次函數(shù)的范圍，以及根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)值域的方法，換元法求函數(shù)值域的方法．