Question

10．如圖，已知點F（1，0），點A，B分別在x軸、y軸上運動，且滿足AB⊥BF，$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AB}$，設點D的軌跡為C．
（I）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）若斜率為$\frac{1}{2}$的直線l與軌跡C交于不同兩點P，Q（位于x軸上方），記直線OP，OQ的斜率分別為k₁，k₂，求k₁+k₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AB}$得B為AD的中點，利用AB⊥BF，可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BF}$=0，從而可得軌跡C的方程；
（Ⅱ）斜率為$\frac{1}{2}$的直線l的方程為y=$\frac{1}{2}$x+b，代入y²=4x，整理，利用韋達定理，結合斜率公式，即可求k₁+k₂的取值范圍．

解答 解：（I）設D（x，y），則由$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AB}$得B為AD的中點，
所以A（-x，0），B（0，$\frac{y}{2}$）
∵AB⊥BF，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BF}$=0，
∴（x，$\frac{y}{2}$）•（1，-$\frac{y}{2}$）=0
∴y²=4x（x≠0）；
（Ⅱ）斜率為$\frac{1}{2}$的直線l的方程為y=$\frac{1}{2}$x+b，代入y²=4x，整理可得x²+（4b-16）x+4b²=0，
△=（4b-16）²-16b²＞0，∴b＜2
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴x₁+x₂=16-4b，x₁x₂=4b²．
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{（\frac{1}{2}{x}_{1}+b）{x}_{2}+（\frac{1}{2}{x}_{2}+b）{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4}$，
∵b＜2，∴$\frac{4}$＜0或$\frac{4}$＞2，
∵k₁+k₂的取值范圍是（-∞，0）∪（2，+∞）．

點評 本題考查求軌跡方程，考查向量知識的運用，解題的關鍵是用好向量，挖掘隱含，屬于中檔題．