Question

11．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB=BC，AD是BC邊上的高，AE是⊙O的直徑．
（1）求證：AC•BC=AD•AE；
（2）過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點F，若AF=4，CF=6，求AC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先連接BE，由圓周角定理可得∠C=∠E，又由AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑，可得∠ADC=∠ABE=90°，則可證得△ADC∽△ABE，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可證得AC•AB=AD•AE；
（Ⅱ）證明△AFC∽△CFB，即可求AC的長．

解答 （Ⅰ）證明：連接BE，
∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑，
∴∠ADC=∠ABE=90°，
∵∠C=∠E，
∴△ADC∽△ABE．
∴AC：AE=AD：AB，
∴AC•AB=AD•AE，
又AB=BC…（4分）
故AC•BC=AD•AE…（5分）
（Ⅱ）解：∵FC是⊙O的切線，∴FC²=FA•FB…（6分）
又AF=4，CF=6，從而解得BF=9，AB=BF-AF=5…（7分）
∵∠ACF=∠CBF，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB…（8分）
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AC}{CB}$…（9分）
∴$AC=\frac{10}{3}$…（10分）

點評 此題考查了圓周角定理與相似三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．