Question

1．如圖，AA₁B₁B是圓柱的軸截面，C是底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，AA₁=AB=2．
（1）求證：平面AA₁C⊥平面BA₁C．
（2）求幾何體A₁-ABC的體積V的最大值．

Answer 1

分析 （1）證明AC⊥BC，推出BC⊥平面AA₁C，然后利用平面與平面垂直的判定定理證明即可．
（2）在Rt△ABC中，設(shè)AC=x，表示出BC，求出幾何體的體積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的最值求解即可．

解答 （1）證明：∵C是底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，AB是底面圓的直徑，
∴AC⊥BC．（2分）
$\left.\begin{array}{l}A{A_1}⊥底面ABC\\ BC?平面ABC\end{array}\right\}⇒BC⊥A{A_1}$（3分）、
AA₁∩AC=A，
$\left.\begin{array}{l}∴BC⊥平面A{A_1}C\\ BC?平面B{A_1}C\end{array}\right\}⇒平面A{A_1}C⊥平面B{A_1}C$（6分）
（2）解：在Rt△ABC中，設(shè)AC=x，
則$BC=\sqrt{A{B^2}-A{C^2}}=\sqrt{4-{x^2}}（0＜x＜2）$${V_{{A_1}-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•A{A_1}=\frac{1}{3}x\sqrt{4-{x^2}}=\frac{1}{3}\sqrt{{x^2}（4-{x^2}）}=\frac{1}{3}\sqrt{-{{（{x^2}-2）}^2}+4}$（10分）
當(dāng)x²=2，即$x=\sqrt{2}$時(shí)，${V_{{A_1}-ABC}}$的最大值為$\frac{2}{3}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力．