Question

6．三棱錐P-ABC中△PAC是邊長為4的等邊三角形，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC⊥面 ABC，D、E分別為AB、PB的中點(diǎn)．
（1）求證AC⊥PD；
（2）求三棱錐P-CDE的體積．
（3）（理）求點(diǎn)P到面CDE的距離．

Answer 1

分析 （1）取AC中點(diǎn)O，連PO，則PO⊥AC，證明AC⊥面POD，然后說明AC⊥PD．
（2）通過V_P-CDE=V_D-PCE，求出${S_{△PCE}}=\frac{1}{2}{S_{△PBC}}$，利用$\frac{{{V_{P-CDE}}}}{{{V_{P-ABC}}}}=\frac{1}{4}$．求解幾何體的體積即可．
（3）證明BC⊥面PAC，求出CE，CD，通過幾何體的體積求解點(diǎn)P到面CDE的距離．

解答 （1）證明：取AC中點(diǎn)O，連PO，則PO⊥AC，又面PAC⊥面ABC，
∴PO⊥面ABC，連OD，則OD∥BC，則DO⊥AC，
∴AC⊥面POD，∴AC⊥PD．    （6分）
（2）解：V_P-CDE=V_D-PCE，∵E為PB中點(diǎn)，∴${S_{△PCE}}=\frac{1}{2}{S_{△PBC}}$，${V_{D-PCE}}=\frac{1}{2}{V_{D-PBC}}=\frac{1}{2}{V_{P-DBC}}=\frac{1}{4}{V_{P-ABC}}$，即$\frac{{{V_{P-CDE}}}}{{{V_{P-ABC}}}}=\frac{1}{4}$．
易求得${V_{P-ABC}}=\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$，故${V_{P-CDE}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．（8分）
（3）解：（理）∵面PAC⊥面ABC，且AC⊥BC，
∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，又E為PB中點(diǎn)，
∴$CE=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}\sqrt{P{B^2}+B{C^2}}=2\sqrt{2}$，同理得$CD=2\sqrt{2}$，
又$DE=\frac{1}{2}PA=2$，∴${S_{△CDE}}=\sqrt{7}$
∵${V_{P-CDE}}=\frac{1}{3}{S_{△CDE}}•h$，∴$h=\frac{{4\sqrt{21}}}{7}$
所以，點(diǎn)P到面CDE的距離為$\frac{{4\sqrt{21}}}{7}$（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直，幾何體的體積的求法，點(diǎn)到平面的距離的求法，考查計(jì)算能力．