Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，CC₁=2AB=2BC=2，D是CC₁中點
（1）求證：B₁D⊥平面ABD；
（2）求：平面AB₁D與側(cè)面BB₁C₁C所成銳角的余弦的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90，易得AB⊥平面BB₁C₁C，從而可得AB⊥DB₁；由2AB=2BC=CC₁=2，D是棱CC₁的中點可證B₁D²+BD²=BB₁²，即可證BD⊥B₁D，從而可證；
（2）由（1）知BD⊥B₁D，AD⊥B₁D，則∠ADB就是平面AB₁D與側(cè)面BB₁C₁C的成角的平面角，Rt△ABD中求解∠ADB即可．

解答： （1）證明：在Rt△B₁C₁D中，∠B₁C₁D=90°，B₁C₁=1，C₁D=

1

2

C1C=1
∴B₁D=

2

，同理BD=

2

在△B₁DB中，∵B₁D²+BD²=B₁B²，∴∠B₁DB=90°
即B₁D⊥BD，
又∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°
∴AB⊥平面BB₁C₁C，而B₁D?平面BB₁C₁C，∴B₁D⊥AB，
∵AB∩BD=B，∴B₁D⊥平面ABD；
（2）解：由（1）知BD⊥B₁D，AD⊥B₁D，平面AB₁D∩平面BB₁C₁C=B₁D
∴∠ADB就是平面AB₁D與側(cè)面BB₁C₁C的成角的平面角
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=1，BD=

2

∴cos∠ADB=

2

3

．

點評：本小題主要考查空間中線面關(guān)系，二面角及其平面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力．