Question

10．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}）$的圖象在y軸右側(cè)與x軸第一個交點和第一個最高點的坐標(biāo)分別為（x₀，0）和（x₀+$\frac{π}{2}$，2），若將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位后所得函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（kx）+1（k＞0）的周期為$\frac{2π}{3}$，且當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{3}$]時，方程f（kx）=m恰有兩個不同的根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的圖象坐標(biāo)求出函數(shù)的周期和振幅，結(jié)合函數(shù)是奇偶性進行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)是周期求出k的值，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}）$的圖象在y軸右側(cè)與x軸第一個交點和第一個最高點的坐標(biāo)分別為（x₀，0）和（x₀+$\frac{π}{2}$，2），
∴A=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{2}$，即T=2π=$\frac{2π}{ω}$．
則ω=1，
則f（x）=2sin（x+φ），
若將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位后所得函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，
即y=2sin（x+$\frac{π}{3}$+φ）是奇函數(shù)，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
則-$\frac{π}{6}$＜φ+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$，
則φ+$\frac{π}{3}$=0，
即φ=-$\frac{π}{3}$，
則函數(shù)f（x）的解析式f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）；
（2）函數(shù)y=f（kx）+1=2sin（kx-$\frac{π}{3}$）+1；
∵函數(shù)y=f（kx）+1（k＞0）的周期為$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{2π}{k}$=$\frac{2π}{3}$，
∴k=3，
則y=f（3x）+1=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1；
即f（3x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$），
設(shè)h（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）
若x∈[0，$\frac{π}{3}$]，則3x∈[0，π]，3x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
則當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時，y=2sin$\frac{2π}{3}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
則要使方程f（kx）=m恰有兩個不同的根，
則$\sqrt{3}$≤m＜2．

點評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解以及三角函數(shù)性質(zhì)的考查，根據(jù)條件求出A，ω和φ的值是解決本題的關(guān)鍵．