Question

3．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知（sinA-sinB）（a+b）=（$\frac{1}{2}$a-c）sinC
（Ⅰ）求cosB的值：
（Ⅱ）若b=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正、余弦定理變形已知式子可得cosB的值；
（Ⅱ）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinB，由余弦定理和基本不等式可得ac的最大值，整體代入三角形的面積公式可得．

解答 解：（Ⅰ）在∵△ABC中（sinA-sinB）（a+b）=（$\frac{1}{2}$a-c）sinC，
∴由正弦定理可得（a-b）（a+b）=（$\frac{1}{2}$a-c）c，
整理可得a²+c²-b²=$\frac{1}{2}$ac，由余弦定理可得：
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{\frac{1}{2}ac}{2ac}$=$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）∵b=1，由（Ⅰ）可得1²=a²+c²-$\frac{1}{2}$ac，
sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
由基本不等式可得1=a²+c²-$\frac{1}{2}$ac≥2ac-$\frac{1}{2}$ac，
解不等式可得ac≤$\frac{2}{3}$，
∴△ABC面積S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{15}}{8}$ac≤$\frac{\sqrt{15}}{12}$
當(dāng)且僅當(dāng)a=c=$\frac{\sqrt{6}}{3}$時(shí)取等號(hào)．
故△ABC面積的最大值為$\frac{\sqrt{15}}{12}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式求最值和三角形的面積公式，屬中檔題．