Question

16．已知：β∈（0，$\frac{π}{4}$），α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）且cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{4}{5}$，sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{5}{13}$，求：cosα，cos（α+β）

Answer 1

分析 根據(jù)兩角和與差的正弦余弦函數(shù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出．

解答 解：∵$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{3}{4}π$，∴-$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{4}$-α＜0．
∵cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{4}{5}$，∴sin（$\frac{π}{4}$-α）=-$\frac{3}{5}$，
∴cos α=cos[$\frac{π}{4}$-（$\frac{π}{4}$-α）]
=cos$\frac{π}{4}$•cos（$\frac{π}{4}$-α）+cos$\frac{π}{4}$•sin（$\frac{π}{4}$-α）
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$•$\frac{4}{5}$+$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$•（-$\frac{3}{5}$）
=$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．
又∵0＜β＜$\frac{π}{4}$，∴$\frac{3π}{4}$＜$\frac{3}{4}π$+β＜π．
∵sin（$\frac{3}{4}π$+β）=$\frac{5}{13}$，∴cos（$\frac{3}{4}π$+β）=$-\frac{12}{13}$Z，
∴cos（α+β）=sin[$\frac{π}{2}$+（α+β）]=sin[（$\frac{3}{4}π$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]
=sin（$\frac{3}{4}π$+β）•cos（$\frac{π}{4}$-α）-cos（$\frac{3}{4}π$+β）•sin（$\frac{π}{4}$-α）
=$\frac{5}{13}$•$\frac{4}{5}$-（-$\frac{12}{13}$）•（-$\frac{3}{5}$）
=-$\frac{16}{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的正弦余弦函數(shù)，關(guān)鍵判斷角的范圍，考查同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于中檔題．