Question

10．已知函數(shù)f（x）=log₂（x+2）與g（x）=（x-a）²+1，若對任意的x₁∈[2，6），都存在x₂∈[0，2]，使得f（x₁）=g（x₂），則實數(shù)a的取值范圍是[-1，2-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，3]．

Answer 1

分析 分別求出f（x₁）和g（x₂）的值域，令f（x₁）的值域為g（x₂）的值域的子集列出不等式解出a．

解答 解：∵x₁∈[2，6），∴f（2）≤f（x₁）＜f（6），即2≤f（x₁）＜3，∴f（x₁）的值域為[2，3）．
g（x）的圖象開口向上，對稱軸為x=a，
（1）若a≤0，則g（x）在[0，2]上是增函數(shù)，∴g（0）≤g（x₂）≤g（2），即g（x₂）的值域為[a²+1，a²-4a+5]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2≥{a}^{2}+1}\\{3≤{a}^{2}-4a+5}\\{a≤0}\end{array}\right.$，解得-1≤a≤0．
（2）若a≥2，則g（x）在[0，2]上是減函數(shù)，∴g（2）≤g（x₂）≤g（1），即g（x₂）的值域為[a²-4a+5，a²+1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2≥{a}^{2}-4a+5}\\{3≤{a}^{2}+1}\\{a≥2}\end{array}\right.$，解得2≤a≤3．
（3）若0＜a≤1，則g_min（x）=g（a）=1，g_max（x）=g（2）=a²-4a+5，∴g（x）的值域為[1，a²-4a+5]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3≤{a}^{2}-4a+5}\\{0＜a≤1}\end{array}\right.$，解得0$＜a≤2-\sqrt{2}$．
（4）若1＜a＜2，則g_min（x）=g（a）=1，g_max（x）=g（0）=a²+1，∴g（x）的值域為[1，a²+1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3≤{a}^{2}+1}\\{1＜a＜2}\end{array}\right.$，解得$\sqrt{2}≤$a＜2．
綜上，a的取值范圍是[-1，0]∪[2，3]∪（0，2-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，2）=[-1，2-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，3]．
故答案為[-1，2-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，3]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的值域，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與值域，集合間的關(guān)系，分類討論思想，屬于中檔題．