Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{x}$（a＞0，x＞0）．
（1）求證：f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）若f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的值域是[$\frac{1}{2}$，2]，求a的值；
（3）若存在正數(shù)m，n使得f（x）在[m，n]上的值域?yàn)閇4m+1，4n+1]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，可得f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）由題意和函數(shù)的單調(diào)性可得$\frac{1}{a}$-2=$\frac{1}{2}$且$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$=2，解方程可得a值；
（3）由題意可得$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{m}$=4m+1且$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{n}$=4n+1，可得$\frac{1}{a}$=4m+$\frac{1}{m}$+1，由基本不等式可得．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{x}$（a＞0，x＞0），
∴f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，x＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）∵f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的值域是[$\frac{1}{2}$，2]，
又∵f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴$\frac{1}{a}$-2=$\frac{1}{2}$且$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$=2，解得a=$\frac{2}{5}$；
（3）若存在正數(shù)m，n使得f（x）在[m，n]上的值域?yàn)閇4m+1，4n+1]，
則$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{m}$=4m+1且$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{n}$=4n+1，∴$\frac{1}{a}$=4m+$\frac{1}{m}$+1≥2$\sqrt{4m•\frac{1}{m}}$+1=5，
當(dāng)且僅當(dāng)4m=$\frac{1}{m}$即m=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號，解得a≤$\frac{1}{5}$，
結(jié)合已知a＞0可得a的取值范圍為（0，$\frac{1}{5}$]

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和證明，涉及基本不等式求最值，屬中檔題．