Question

16．已知a＞0，函數f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=e^x．經過原點分別作曲線y=f（x）、y=g（x）的切線l₁、l₂，若兩切線的斜率互為倒數，則的a取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{e-2}{2e}$）
• B． （$\frac{e-2}{2e}$，$\frac{e-1}{e}$）
• C． （$\frac{e-1}{e}$，$\frac{{{e^2}-1}}{e}$）
• D． （$\frac{{{e^2}-1}}{e}$，$\frac{{2{e^2}-1}}{e}$）

Answer 1

分析 分別設出切線l₁、l₂的切點，求得函數的導數，可得切線的斜率，以及切線的方程，結合兩點的斜率公式，可得a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$．消去a，可得lnx₁-1+$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$=0，令m（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{e}$=0，求得導數，判斷單調性，可得x₁的范圍，進而得到所求范圍．

解答 解：設切線l₂的方程為y=k₂x，切點為（x₂，y₂），
則y₂=e^x₂，k₂=g′（x₂）=${e}^{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，
所以x₂=1，y₂=e，則k₂=${e}^{{x}_{2}}$=e．
由題意知，切線l₁的斜率為k₁=$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{1}{e}$，l₁的方程為y=k₁x=$\frac{1}{e}$x．
設l₁與曲線y=f（x）的切點為（x₁，y₁），
則k₁=f′（x₁）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-a=$\frac{1}{e}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
所以y₁=$\frac{{x}_{1}}{e}$=1-ax₁，a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$．
又因為y₁=lnx₁-a（x₁-1），消去y₁和a后，整理得lnx₁-1+$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$=0．      
令m（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{e}$=0，則m′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
m（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．
若x₁∈（0，1），因為m（$\frac{1}{e}$）=-2+e-$\frac{1}{e}$＞0，m（1）=-$\frac{1}{e}$＜0，
所以x₁∈（$\frac{1}{e}$，1），
而a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$在x₁∈（$\frac{1}{e}$，1）上單調遞減，所以$\frac{e-1}{e}$＜a＜$\frac{{e}^{2}-1}{e}$．
若x₁∈（1，+∞），因為m（x）在（1，+∞）上單調遞增，且m（e）=0，則x₁=e，
所以a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$=0（舍去）．
綜上可知，$\frac{e-1}{e}$＜a＜$\frac{{e}^{2}-1}{e}$．
故選：C．

點評 本題考查了利用導數求曲線的切線問題及單調性的運用，考查了化簡整理的計算能力，屬于難題．