Question

6．如圖，四棱錐E-ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．
（1）求證：BD⊥平面ADE；
（2）求直線BE和平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得出AD=BD=2$\sqrt{2}$，故而AD⊥BD，由面面垂直的性質(zhì)得出BD⊥平面ADE；
（2）以D為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{BE}$和平面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$，則直線BE和平面CDE所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BE}$＞|．

解答 解：（1）∵EA=ED=2，EA⊥ED，∴AD=2$\sqrt{2}$．
∵BC=CD=2，BC⊥CD，∴BD=2$\sqrt{2}$
又AB=4，∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD．
又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面ADE．
（2）取AD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF⊥平面ABCD，EF=$\sqrt{2}$．
過D點(diǎn)作直線Oz∥EF，則Oz⊥平面ABCD．
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DB，Dz為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
∴D（0，0，0），C（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），E（$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{BE}$=（$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DE}$=（$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DC}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0）．
設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+\sqrt{2}z=0}\\{-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，設(shè)x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{3}•2\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴直線BE和平面CDE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，空間向量的應(yīng)用與線面角的計(jì)算，屬于中檔題．