Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a_n≠0，a₁=1，a₂=2，a_n-1（a_n+1-a_n）=a²_n，n≥2．
（1）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，求證：{b_n}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)c_n=$\frac{n}{{a}_{n+1}}$，且{c_n}的前n項和為S_n，證明：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由遞推公式得到$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=1，n≥2，由此能證明{b_n}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．
（2）由（1）得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2+（n-1）×1=n+1，從而利用累乘法得到c_n=$\frac{n}{{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{（n+1）!}$，由此利用放縮法能證明S_n＜1．

解答 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足：a_n≠0，a₁=1，a₂=2，a_n-1（a_n+1-a_n）=a²_n，n≥2，
∴$\frac{{a}_{n-1}{a}_{n+1}}{{{a}_{n}}^{2}}$-$\frac{{a}_{n-1}{a}_{n}}{{{a}_{n}}^{2}}$=1，n≥2，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=1，n≥2，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，n≥2，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}-\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=1，n≥2，
∵$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，
∴{b_n}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．
（2）∵b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，{b_n}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2+（n-1）×1=n+1，
∴${a}_{n}={a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=1×2×3×…×n=n!，
∵c_n=$\frac{n}{{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{（n+1）!}$，
∴{c_n}的前n項和：
S_n=$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+…+\frac{n}{（n+1）!}$
＜$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1，
∴S_n＜1．

點評 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和小于1的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和放縮法的合理運用．