Question

20．下面給出的四個命題中：
①以拋物線y²=4x的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為（x-1）²+y²=1；
②點（1，2）關(guān)于直線L：X-Y+2=0對稱的點的坐標為（0，3）．
③命題“?x∈R，使得x²+3x+4=0”的否定是“?x∈R，都有x²+3x+4≠0”；
④命題：過點（0，1）作直線，使它與拋物線y²=4x僅有一個公共點，這樣的直線有2條．
其中是真命題的有①②③（將你認為正確的序號都填上）．

Answer 1

分析 ①以拋物線y²=4x的焦點（1，0）為圓心，且過坐標原點的圓的半徑為1，可得原點方程，即可判斷出正誤；
②設(shè)點（1，2）關(guān)于直線L：X-Y+2=0對稱的點的坐標為（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{2}-\frac{y+2}{2}+2=0}\\{\frac{y-2}{x-1}×1=-1}\end{array}\right.$，解得即可判斷出正誤．
③利用命題的否定定義即可判斷出正誤；
④這樣的直線有3條，分別為x=0，y=1，y=x+1，即可判斷出正誤．

解答 解：①以拋物線y²=4x的焦點（1，0）為圓心，且過坐標原點的圓的方程為（x-1）²+y²=1，正確；
②設(shè)點（1，2）關(guān)于直線L：X-Y+2=0對稱的點的坐標為（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{2}-\frac{y+2}{2}+2=0}\\{\frac{y-2}{x-1}×1=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$，因此所求對稱點為（0，3），正確．
③命題“?x∈R，使得x²+3x+4=0”的否定是“?x∈R，都有x²+3x+4≠0”，正確；
④命題：過點（0，1）作直線，使它與拋物線y²=4x僅有一個公共點，這樣的直線有3條，分別為x=0，y=1，y=x+1，因此不正確．
其中是真命題的有①②③．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了圓錐曲線的判定方法、命題真假的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．