4.已知函數(shù)f(x)=ax+$\frac{1}{x}$,且此函數(shù)的圖象過點A(2,$\frac{5}{2}$).
(1)求實數(shù)a的值;
(2)判斷f(x)的奇偶性;
(3)討論函數(shù)f(x)在[1,+∞)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.

分析 (1)把點的坐標(biāo)代入函數(shù)f(x)中,求出a的值即可;
(2)根據(jù)奇偶性的定義,判斷f(x)是定義域上的奇函數(shù);
(3)函數(shù)f(x)是[1,+∞)上的單調(diào)增函數(shù),用單調(diào)性定義即可證明.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=ax+$\frac{1}{x}$的圖象過點A(2,$\frac{5}{2}$),
∴f(2)=2a+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$,解得a=1;
(2)a=1時,f(x)=x+$\frac{1}{x}$,其中x≠0;
f(-x)=-x+$\frac{1}{-x}$=-(x+$\frac{1}{x}$)=-f(x),
∴f(x)是定義域(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù);
(3)函數(shù)f(x)在[1,+∞)是單調(diào)增函數(shù),證明如下;
任取x1、x2∈[1,+∞),且x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=(x1+$\frac{1}{{x}_{1}}$)-(x2+$\frac{1}{{x}_{2}}$)=$\frac{{(x}_{1}{-x}_{2}){{(x}_{1}x}_{2}-1)}{{{x}_{1}x}_{2}}$;
∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0;
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2);
∴f(x)是[1,+∞)上的單調(diào)增函數(shù).

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判斷問題,也考查了求函數(shù)解析式的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目.

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(2)若函數(shù)f(x)=log2(ax2+2ax+3)的值域為(-∞,0],求實數(shù)a的值;
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