Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{1}{x}$，且此函數(shù)的圖象過點A（2，$\frac{5}{2}$）．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）討論函數(shù)f（x）在[1，+∞）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）把點的坐標(biāo)代入函數(shù)f（x）中，求出a的值即可；
（2）根據(jù)奇偶性的定義，判斷f（x）是定義域上的奇函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）是[1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，用單調(diào)性定義即可證明．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax+$\frac{1}{x}$的圖象過點A（2，$\frac{5}{2}$），
∴f（2）=2a+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，解得a=1；
（2）a=1時，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，其中x≠0；
f（-x）=-x+$\frac{1}{-x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x），
∴f（x）是定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）在[1，+∞）是單調(diào)增函數(shù)，證明如下；
任取x₁、x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}-1）}{{{x}_{1}x}_{2}}$；
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是[1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判斷問題，也考查了求函數(shù)解析式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．