分析 (1)把點的坐標(biāo)代入函數(shù)f(x)中,求出a的值即可;
(2)根據(jù)奇偶性的定義,判斷f(x)是定義域上的奇函數(shù);
(3)函數(shù)f(x)是[1,+∞)上的單調(diào)增函數(shù),用單調(diào)性定義即可證明.
解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=ax+$\frac{1}{x}$的圖象過點A(2,$\frac{5}{2}$),
∴f(2)=2a+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$,解得a=1;
(2)a=1時,f(x)=x+$\frac{1}{x}$,其中x≠0;
f(-x)=-x+$\frac{1}{-x}$=-(x+$\frac{1}{x}$)=-f(x),
∴f(x)是定義域(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù);
(3)函數(shù)f(x)在[1,+∞)是單調(diào)增函數(shù),證明如下;
任取x1、x2∈[1,+∞),且x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=(x1+$\frac{1}{{x}_{1}}$)-(x2+$\frac{1}{{x}_{2}}$)=$\frac{{(x}_{1}{-x}_{2}){{(x}_{1}x}_{2}-1)}{{{x}_{1}x}_{2}}$;
∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0;
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2);
∴f(x)是[1,+∞)上的單調(diào)增函數(shù).
點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判斷問題,也考查了求函數(shù)解析式的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -$\frac{7}{9}$ | B. | $\frac{7}{9}$ | C. | -$\frac{7}{18}$ | D. | $\frac{7}{18}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | a<-4或a>0 | B. | a≥0 | C. | -4<a<0 | D. | a>-4 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -x2-4 | B. | x2-4 | C. | (x-1)2-4 | D. | 4-x2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1個 | B. | 2個 | C. | 3個 | D. | 4個 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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