Question

8．（1）f（x）=log₂（ax²+ax+1）的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）=log₂（ax²+2ax+3）的值域為（-∞，0]，求實數(shù)a的值；
（3）若函數(shù)f（x）=log₂（x²+2ax+a+1）在區(qū)間（0，1]上遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若f（x）=log₂（ax²+ax+1）的定義域為R，則ax²+ax+1＞0恒成立，故a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={a}^{2}-4a＜0\end{array}\right.$，解得實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）=log₂（ax²+2ax+3）的值域為（-∞，0]，則t=ax²+2ax+3有最小值1，故$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ \frac{12a-4{a}^{2}}{4a}=1\end{array}\right.$，解得a值；
（3）若函數(shù)f（x）=log₂（x²+2ax+a+1）在區(qū)間（0，1]上遞增，則t=x²+2ax+a+1在區(qū)間（0，1]上遞增，且t=x²+2ax+a+1＞0在區(qū)間（0，1]上恒成立，故$\left\{\begin{array}{l}-a≤0\\ a+1≥0\end{array}\right.$，解得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若f（x）=log₂（ax²+ax+1）的定義域為R，
則ax²+ax+1＞0恒成立，
故a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={a}^{2}-4a＜0\end{array}\right.$，
解得：a∈[0，4）；
（2）若函數(shù)f（x）=log₂（ax²+2ax+3）的值域為（-∞，0]，
則t=ax²+2ax+3有最小值1，故$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ \frac{12a-4{a}^{2}}{4a}=1\end{array}\right.$，解得：a=2，
（3）若函數(shù)f（x）=log₂（x²+2ax+a+1）在區(qū)間（0，1]上遞增，
則t=x²+2ax+a+1在區(qū)間（0，1]上遞增，且t=x²+2ax+a+1＞0在區(qū)間（0，1]上恒成立，
故$\left\{\begin{array}{l}-a≤0\\ a+1≥0\end{array}\right.$，解得：a≥0

點評 本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔．