5.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1=2an+3(n∈N+
(1)設(shè)bn=an+3(n∈N+),求證{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

分析 (1)首先對(duì)數(shù)列的遞推關(guān)系式進(jìn)行恒等變換,進(jìn)一步求出數(shù)列是等比數(shù)列.
(2)利用等比數(shù)列進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,在求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.

解答 解:(1)數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1=2an+3(n∈N+
則:an+1+3=2(an+3),
即:$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}+3}=2$(常數(shù)),
由于設(shè)bn=an+3(n∈N+),
所以:$\frac{_{n+1}}{_{n}}=2$,
數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)由(1)得:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,
所以:$\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{1}+3}={2}^{n-1}$,
由于:a1=1,
所以:${a}_{n}={2}^{n+1}-3$
則:Sn=a1+a2+…+an
=22-3+23-3+…+2n+1-3
=22+23+…+2n+1-(3+3+…+3)
=$\frac{4({2}^{n}-1)}{2-1}-3n$
=2n+2-3n-4

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn):利用定義法證明數(shù)列是等比數(shù)列,求數(shù)列通項(xiàng)公式,利用分組法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.

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