Question

14．已知（2x-1）ⁿ展開式中，奇次項(xiàng)系數(shù)和比偶次項(xiàng)系數(shù)的和小3⁸，求C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+C${\;}_{n}^{3}$+…+C${\;}_{n}^{n}$的值．

Answer 1

分析 利用（2x-1）ⁿ展開式中，奇次項(xiàng)系數(shù)和比偶次項(xiàng)系數(shù)的和小3⁸，可得n，即可求C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+C${\;}_{n}^{3}$+…+C${\;}_{n}^{n}$的值．

解答 解：設(shè)（2x-1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ．且奇次項(xiàng)的系數(shù)和為A，偶次項(xiàng)的系數(shù)和為B．
則：A=a₁+a₃+a₅+…，B=a₀+a₂+a₄+…
由已知可知：B-A=3⁸．
令x=-1，得：a₀-a₁+a₂+…+（-1）ⁿa_n=（-3）ⁿ，
即B-A=3ⁿ，∴n=8．
由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得：C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+C${\;}_{n}^{3}$+…+C${\;}_{n}^{n}$=2⁸-1=255．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，正確賦值，求出n是關(guān)鍵．