Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax-1，a≠0
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若y=f（x）在x=1在處取得極值，直線(xiàn)y=m與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)，討論確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合函數(shù)圖象可知，直線(xiàn)y=m與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)只需使m在兩個(gè)極值之間．

解答： 【答案】（1）由題知：f'（x）=3x²-3a=3（x²-a），
①當(dāng)a＜0時(shí)，對(duì)?x∈R，恒有f'（x）＞0，
即當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）．
②當(dāng)a＞0時(shí)，
解f'（x）＞0得，x＞

a

或x＜-

a

，
解f'（x）＜0得，-

a

＜x＜

a

，
即當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-

a

，

a

），
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-

a

）和（

a

，+∞）．
（2）∵y=f（x）在 x=1處取得極值，
∴f'（1）=3-3a=0，
則a=1．
即f（x））=x³-3x-1，f'（x）=3x²-3；
解f'（x）=0得，x=±1．
由（1）知：f（x）在x=-1處取得極大值f（-1）=1；在x=1處取得極小值f（1）=-3
∵直線(xiàn)y=m與y=f（x）函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
結(jié)合f（x）的單調(diào)性可得，-3＜m＜1．
所以m的范圍為（-3，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的方法，同時(shí)也考查了分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想．