Question

已知函數(shù)f（x）=x²-1-

1

x

．
（1）求函數(shù)y=f（x）的零點的個數(shù)；
（2）令g（x）=

ax2+ax

xf(x)+ x

+lnx，若函數(shù)y=g（x）在（0，

1

e

）內(nèi)有極值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)零點的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，得到f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)零點的判定定理證得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有唯一零點，從而得出結(jié)論．
（2）先化簡得到g（x）=

a

x-1

+lnx，再求導(dǎo)，令設(shè)h（x）=x²-（2+a）x+1，要使函數(shù)g（x）在（0，

1

e

）內(nèi)有極值，設(shè)有兩個不等實根x₁，x₂，至少有一根在（0，

1

e

）內(nèi)，結(jié)合題意即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f′（x）=2x+

1

2 x3

＞0
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
又f（1）=-1＜0，f（2）=3-

2

2

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)有唯一的零點
故f（x）在（0，+∞）上有一個零點．
（2）g（x）=

ax2+ax

xf(x)+ x

+lnx=

ax2+ax

x3-x

+lnx=

ax(x+1)

x(x+1)(x-1)

+lnx=

a

x-1

+lnx，
其定義域（0，1）∪（1，+∞），
則g′（x）=

1

x

-

a

(x-1)2

=

x2-(2+a)x+1

x(x-1)2

，
設(shè)h（x）=x²-（2+a）x+1，要使函數(shù)g（x）在（0，

1

e

）內(nèi)有極值，
由于h（0）=1，則h（x）=0在（0，+∞） 內(nèi)有兩個不等實根x₁，x₂，
∴△=（2+a）²-4＞0．
解得a＞0，或a＜-4
又x₁，x₂至少有一根在（0，

1

e

）內(nèi)，不妨設(shè)x₁∈（0，

1

e

），
由x₁•x₂=1得0＜x₁＜

1

e

＜x₂，
∴只需h（

1

e

）＜0，
∴a＞e+

1

e

-2

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，著重考查函數(shù)在某點取得極值的條件，考查分類討論與化歸思想，屬于中檔題