Question

18．定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx+|sinx-cosx|），給出下列結(jié)論：
①f（x）為周期函數(shù)      
 ②f（x）的最小值為-1
③當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ（k∈Z）時，f（x）取得最小值
④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ-$\frac{π}{2}$＜x＜（2k+1）π，（k∈Z）時，f（x）＞0
⑤f（x）的圖象上相鄰最低點的距離為2π．
其中正確的結(jié)論序號是（　　）

• A． ①④⑤
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ②③⑤

Answer 1

分析 根據(jù)絕對值的應(yīng)用將函數(shù)進(jìn)行化簡，然后作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合以及三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：當(dāng)sinx≥cosx，即 x∈[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$]時，
f（x）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx+|sinx-cosx|）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx+sinx-cosx）=sinx，
當(dāng)sinx＜cosx，x∈[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]時，
f（x）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx+|sinx-cosx|）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx-sinx+cosx）=cosx，

作出正弦函數(shù)y=sinx與y=cosx在一個周期上的圖象如圖：取函數(shù)的最大值，
即為函數(shù)f（x）=max{sinx，cosx}，
①函數(shù)以2π為周期的周期函數(shù)，故①正確，
②由圖象知函數(shù)的最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故②錯誤
③由圖象知當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ-$\frac{3π}{4}$時，函數(shù)取得最小值-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故③錯誤，
④由圖象知當(dāng)2kπ-$\frac{π}{2}$＜x＜（2k+1）π，（k∈Z）時，f（x）＞0成立，故④正確，
⑤∵函數(shù)的周期是2π，∴f（x）的圖象上相鄰最低點的距離為2π正確，故⑤正確，
故正確的是①④⑤，
故選：A

點評 本題考查與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)有關(guān)的命題的真假判斷，根據(jù)條件先求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生理解信息的能力．