Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a^x}，x＜0\\（a-3）x+4a，x≥0\end{array}$滿足對(duì)任意x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（0，\frac{1}{4}]$．

Answer 1

分析 由任意x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0成立，得函數(shù)為減函數(shù)，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)建立不等式關(guān)系即可．

解答 解：∵f（x）滿足對(duì)任意x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0成立
∴函數(shù)f（x）在定義域上為減函數(shù)，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a-3＜0}\\{{a}^{0}≥4a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a＜3}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，得0＜a≤$\frac{1}{4}$，
故答案為：$（0，\frac{1}{4}]$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．