16.等差數(shù)列{an}首項和公差都是$\frac{2}{3}$,記{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}各項均為正數(shù),公比為q,記{bn}的前n項和為Tn
(I)寫出Si(i=1,2,3,4,5)構(gòu)成的集合A;
(Ⅱ)若將Sn中的整數(shù)項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{cn},求{cn}的一個通項公式;
(Ⅲ)若q為正整數(shù),問是否存在大于1的正整數(shù)k,使得Tk,T2k同時為(1)中集合A的元素?若存在,寫出所有符合條件的{bn}的通項公式,若不存在,請說明理由.

分析 (Ⅰ)直接由等差數(shù)列的求和公式得到Sn.再把n=1,2,3,4,5分別代入即可求出集合A;
(Ⅱ)${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n(n-1)d}{2}$=$\frac{2}{3}[n+\frac{n(n-1)}{2}]$=$\frac{n(n+1)}{3}$,Sn中的整數(shù)項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{cn},可得n=3k或n+1=3k(k∈Z);
(Ⅲ)由于{bn}的前n項和為Tn.故應(yīng)分類討論,然后利用Tk,T2k同時為集合A中的元素進行求解.

解答 解:(Ⅰ)∵等差數(shù)列{an}首項和公差都是$\frac{2}{3}$,
∴${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n(n-1)d}{2}$=$\frac{2}{3}[n+\frac{n(n-1)}{2}]$=$\frac{n(n+1)}{3}$.
把n=1,2,3,4,5分別代入上式,得
A={$\frac{2}{3}$,2,4,$\frac{20}{3}$,10};
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,${S}_{n}=\frac{n(n+1)}{3}$,
∵Sn中的整數(shù)項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{cn},∴n=3k或n+1=3k(k∈Z),
故可求cn=n(3n+1),或cn=n(3n-1);
(Ⅲ)當(dāng)q=1時,Tk=kb1,T2k=2kb1
∴T2k=2Tk;
∵Tk,T2k同時為集合A中的元素,
∴Tk=2,T2k=4,得kb1=2,
∴b1=$\frac{2}{k}$,
∴bn=$\frac{2}{k}$;
當(dāng)q≠1時,Tk=$\frac{_{1}(1-{q}^{k})}{1-q}$,T2k=$\frac{_{1}(1-{q}^{2k})}{1-q}$,$\frac{{T}_{2k}}{{T}_{k}}=1+{q}^{k}$,
∵q為正整數(shù),正整數(shù)k大于1.
∴當(dāng)Tk=$\frac{2}{3}$時,T2k=$\frac{20}{3}$,得到qk=9,此時q=3,k=2,
∴Tk=T2=b1(1+q)=b1×4=$\frac{2}{3}$,得b1=$\frac{1}{6}$,故$_{n}=\frac{1}{6}$×3n-1=$\frac{1}{2}$×3n-2;
當(dāng)Tk=2時,T2k=10,得到qk=4,此時q=2,k=2,
∴Tk=T2=b1(1+q)=b1×3=2,得b1=$\frac{2}{3}$,bn=$\frac{2}{3}$×2n-1=$\frac{1}{3}$×2n;
當(dāng)Tk=4,${T}_{k}=\frac{20}{3}$,Tk=10時,找不到滿足條件的{bn}.

點評 本題考查數(shù)列遞推式,考查了數(shù)列的函數(shù)特性,考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式,考查邏輯思維能力和轉(zhuǎn)化能力,難度較大.

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