Question

15．正方形ABCD的對角線AC在直線x+2y-1=0上，點A，B的坐標(biāo)分別為A（-5，3），B（m，0）（m＞-5）．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）求點C、D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形中對角線互相垂直，寫出直線BD的方程，與直線AC聯(lián)立，求出正方形的中心點E的坐標(biāo)，再利用|AE|=|BE|，列出方程求出m的值；
（2）根據(jù)E是AC、BD的中點坐標(biāo)，列出方程組，分別求出點C、D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）正方形ABCD中，BD⊥AC，且k_AC=-$\frac{1}{2}$，
∴k_BD=-$\frac{1}{{k}_{BD}}$=2，
∴直線BD的方程為y=2（x-m）；
與直線AC：x+2y-1=0聯(lián)立，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4m}{5}+\frac{1}{5}}\\{y=\frac{-2m}{5}+\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
即正方形的中心點E的坐標(biāo)為（$\frac{4}{5}$m+$\frac{1}{5}$，-$\frac{2}{5}$m+$\frac{2}{5}$）；
又|AE|=|BE|，
∴$\sqrt{{（\frac{4}{5}m+\frac{1}{5}+5）}^{2}{+（-\frac{2}{5}m+\frac{2}{5}-3）}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{4}{5}m+\frac{1}{5}-m）}^{2}{+（-\frac{2}{5}m+\frac{2}{5}）}^{2}}$，
兩邊平方，整理得m²+18m+56=0，
解得m=-4或m=-14（因m＞-5，舍去），
∴m的值是-4；
（2）正方形ABCD中，點B的坐標(biāo)為（-4，0），
設(shè)頂點C，D的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∵點E的坐標(biāo)為（-3，2），E為AC中點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-5{+x}_{1}}{2}=-3}\\{\frac{3{+y}_{1}}{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，
即點C的坐標(biāo)為（-1，1），
同理可得點D的坐標(biāo)為（-2，4）．

點評 本題考查了直線方程的應(yīng)用問題，也考查了直線的位置關(guān)系與對稱的應(yīng)用問題，是綜合性題目．